힐버트 호텔 두번째 이야기 – 무한 개념

배한길 info.elc09@gmail.com 글쓴이의 다른 글 보기

지난주에 힐버트 호텔(Hilbert΄s paradox of the Grand Hotel)이야기를 통해 무한 개념에 대해서 이야기 하였습니다.  이번주에는 그 다음에 발행한 에피소드로 다시 한 번 무한 개념에 대해 좀더 설명 드릴까 합니다 . 혹시 힐버트 호텔이야기가 궁금하시거나 첫번째 이야기가 궁금하신분은 지난 주 제 컬럼을 참고 하시기 바랍니다.

   힐버트가 지난밤 아주 난처한 상황을 잘 처리하고 안도에 한숨을 돌렸습니다. 그런데 다음날 밤 호텔에 더욱 더 곤란한 상황이 발생하고 말았습니다. 그것은 방에 투숙객으로 가 득차 있는 상황에서 무한히 긴 기차를 타고온 무한대의 손님들이 도착하여 방을 달라고 요구하게 됩니다. 헉!!! 방은 모두 꼭 찼는데 한 두명도 아닌 무한대의 손님이 방을 기다리고 있습니다. 얼마나 당황스러울까요? 

   하지만 우리는 힐버트는 당황하지 않고 돈을 더 벌수 있다고 쾌재를 부릅니다. 그리고 나서는 힐버트는 각각의 방에 안내 방송을 내 보냅니다. 손님 여러분 죄송하지만 현재 지내고 계신 객실 번호에 2를 곱하여서 그 번호에 해당하는 방으로 옮겨주시기 바랍니다 라고 말입니다. 

   예를 들어 1호실 손님은 2호실로 , 2호실 손님은 4호실로, 그리고 3호실 손님은 6호등으로 말입니다. 그리고 나니 어떤 손님도 방을 빼끼지 않고 무한개의 빈 객실이 생긴것입니다. 즉  홀수 번호의 방이 모두 남개 된것입니다. 그래서 기차를 타고 온 무한대의 손님들을 이 무한대의 홀수 방에 모두 배정할 수 있었던 것입니다. 즉 이 이야기는 무한대에 2를 곱하여도 여전히 무한대임을 알게 해주는 예 입니다.   

   이것을 수식으로 나타내보면 자연수의 집합 N 에서 정의된 함수 f(x)=2x 로 나타낼 수 있게 됩니다. 

   지난 두 주 동안 무한에 대한 개념을 설명 드렸는데 잘 되었는지 모르겠습니다. 

   저는 개인적으로 수학에서 가장 매력적인 숫자가 무엇이냐고 물으신다면 바로 무한대라고 말씀 드릴수 있겠습니다. 

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