최종수정 : 2014-02-03 09:30
혹시 힐버트 호텔(Hilberte΄s paradox of the Grand Hotel)이라고 들어 보신적인 있으신지요?
먼저, 결론 부터 말씀 드리면, 무한이란 개념을 잘 설명해 놓은 이야기 라고 말씀 드릴수 있겠습니다.
좀더 자세히 말씀 드리면, 힐버트는 종업원이 일하는 가상의 호텔이 있습니다.
이 호텔에는 무한개의 객실이 있으나 항상 가득차 있는 것이 특징입니다.
어느날 손님이 밤늦게 도착하게 되고, 이에 당황한 종업원이 힐버트가 곰곰히 생각에 잠기게 됩니다. 그리고 잠시후에 개실에 있는 손님에게 방송으로 다음과 같이 정중하게 부탁하게 됩니다.
"죄송하지만 모든 손님들은 옆방으로 한칸씩만 이동해 주시면 감사하겠습니다"
이해심 많은 손님은 힐버트의 부탁을 들어 주어 1호실 손님은 2호실로 2호실 손님은 3호실로 3호실 손님은4호실….. 모두 방을 한칸씩 이동하게 됩니다.
이로인해 기존의 손님들의 옆방으로 한칸식 옮겼으니 맨 처음 방인 1호는 빈방이 되고 늦게 온 손님이 이 1호실을 사용하게 됩니다. (그림 참조)
이 이야기는 무한대에 하나를 더하여도 여전히 무한대임을 보여주는 아주 좋은 예입니다.
이것을 수식으로 나타내보면 자연수의 집합 N 에서 정의된 함수 f(x)=x+1 은 일대일 함수 (즉, 입력 x에 대한 출력 f(x)의 값이 각기 다른 하나가 된다는 것) 에 모순이 없다는 것입니다.
이 말을 듣고 많은 분들이 좀 이상하다 또는 어색하다는 생각을 가지실수 있습니다만 이것은 단지 우리가 일상생활에서 무한 이라는 개념을 많이 쓰지않기 때문에 어색하다는 선입견을 가질수 있습니다.
다음주에는 또 다른 예로 무한 개념에 대해서 이야기 해 보도록 하겠습니다. 다음주에 뵙겠습니다.
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